こんにちは。成れない駒の種類は歩限定なのでしょうかね？
原因と対策ですが、かなり珍しい現象のようで、一般論で考えてみるしかないかと。
・メモリー不足
他に同時に開いているアプリやブラウザのタブ数を極力減らしてみる
・ブラウザが原因
ブラウザの種類やアドオンが影響している可能性ですね
現在メジャーな道場可能なブラウザはSafariとFireFoxだと思います
ブラウザを変えたり、お使いのアドオンを外してみる
・他はJavaの設定？くらいですが、ここはわかりません

ご参考になればよいのですが。
あと、OS X、Java、ブラウザのバージョンや種類をわかる範囲で書かれると読まれる方にも役立つと思われます。

私の場合はマウスが原因でした。

★私のマウスの操作

１、マウスのボタンを優しく押している。
２、マウスのボタンの先端ではなく中央部分に近いほうを押している。

マウスを使いこんでいるため、接点が敏感になっていました。

そのため超スーパー高速ダブルクリック状態になっていました。

★わたしの対策

１、マウスのボタンの先端部分を普段より長い時間をかけて力強く押す。
２、マウスを買い替える。

私は対策１を実施していましたが、精神衛生上よくないので結局、マウスを買い換えました。

　駒の移動先での操作で、クリック（シングルクリック）を２回実施すると、
マウスポインターの位置（移動先の枠の上半分か下半分か）により、上半分
の場合は「成り」、下半分の場合は「不成」で確定します。
（ダブルクリック１回でも同様です）
　
　２回のクリックの時間間隔が極く短い場合には、選択画面が表示されなか
ったように見える場合がありますね。
　
　クリック（シングルクリック）を１回したつもりでも、何らかの原因で、
「シングルクリック２回」又は「ダブルクリック１回」と判断された場合に
は、勝手に成らなかったり、勝手に成ったりしたと見えることになります。
　
　シングルクリックがダブルクリックであると誤判断されるのは、マウスの
機械的な故障（チャタリング発生等）の他にドライバー等のソフト的な異常
の場合などもあるようです。
　
　本質的な解決方法ではありませんが、次のような方法はいかがでしょう？
　
＊　ダブルクリックと誤判断されても対戦進行上問題がないように、
　　移動先の位置指定の際に、
　　・　成りたい場合には、枠の上半分部分をクリックする」
　　・　成りたくない場合には、枠の下半分部分をクリックする」

こんにちは(*^_^*)

お困りのようですが、wantan noodle さんは、いつ頃のMacをお使いでしょうか？
5月の投稿では OS X 10.3 と書かれていますが、今もお変わりないでしょうか？

OS X 10.3 Panther は、素晴らしいOSです。そして2003年10月と、12年前に提供されたOSです。
Appleのサポートも切れておりますし、新しいMacへ更新されてはいかがでしょうか？
ちょうど新しいiMacも発表されたことですし、素敵ですよ。

将棋倶楽部24のシステム自体が旧式なことに加えて、
古い環境で運用されていると様々な不具合等、発生してくることと思います。
最新の新しいMacで、心地よさを体感されては、いかがでしょうか(*^_^*)

とっても勘違いしていたのかもと思っていますが、
もしかして、OS X v10.10 Yosemite なのですね。
済みませんでしたm(_ _)m

ブラウザ(Firefox)とJavaを最新版にする。
マウスではなく、Magic Trackpad 2 を使って見る。
盤の大きさが選べるようになったので、他の大きさの盤で試してみる。

くらいでしょうか？

成れないという現象に遭遇したことがないので、
余りお役に立たないかも知れませんが・・・